Question mathématique

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Incognito
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Question mathématique

Message non lu par Incognito » 09 avr. 2017, 18:14:09

En politique monétaire, on a l'équation bien connue:
Q x P = M x V

Avec:
Q = le PIB en volume
P = le niveau des prix
M = la quantité de monnaie
V = la vélocité de la monnaie

Je sais qu'il y a moyen de transformer cette équation en quelque chose du style:
Croissance réelle du PIB + Inflation = changement de la quantité de monnaie + changement de la vélocité de la monnaie

Mon problème: je ne retrouve plus la démonstration mathématique pour passer de l'un à l'autre. Je crois que ça passe par des lognormaux et/ou des dérivées.

Si quelqu'un peut m'aider? @La Bécasse peut-être?
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Cheshire cat
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Re: Question mathématique

Message non lu par Cheshire cat » 09 avr. 2017, 20:22:37

Il faudrait définir différentes quantités que tu utilise et les liens entre elles.
On notera que quand on additionne des quantités, ou les "égalise", elles doivent s'exprimer dans les mêmes unités.
Je sens bien qu'il doit y avoir un lien mais, même en cherchant des définitions et en essayant de deviner , je n'ai pas réussi à dépêtrer cela.

Ensuite on doit pouvoir s'en sortir en utilisant le calcul infinitésimal "à la Leibnitz" (ou à la manière des Physiciens)

x étant une quantité, dx désigne une petite variation de x

(Pour traduire dans le calcul des dérivées, Pour un petit intervalle de temps dt, dx/dt désigne la dérivée de la fonction x du temps)

On a les identités classique:
d(u+v)= du + dv
d(u-v)=du - dv
d(uv)= u dv + v du
d(u/v) = (v du - u dv)/v2

Ou du moins c'est presque vrai pour des petite variations.
On utilise les règles du calcul algébrique classique et ça marche ! ( bien qu'il soit difficile de le justifier formellement en mathématiques)

En principe, cela devrait permettre d'obtenir le résultat.
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Francis_15
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Re: Question mathématique

Message non lu par Francis_15 » 09 avr. 2017, 20:37:24

Ouaip c'est ça faut deriver l'equation :

d(Q x P)/dt = d(M x V)/dt

soit selon les équation citées plus haut (j'espères qu'elles sont bonnes)
Q d(P)/dt + Pd(Q)/dt = M d(V)/dt + Vd(M)/dt

Avec d(P)/dt = croissance réelle du PIB et d(Q)/dt inflation

Mais bon l'économie n'est malheureusement pas une science excacte.

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Cheshire cat
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Re: Question mathématique

Message non lu par Cheshire cat » 09 avr. 2017, 20:58:08

Sinon, sachant que d(ln (u))= (du) / u (*)(dérivée logarithmique) , on obtient:
de QP=MV :
ln(QP)=ln(MV)
ln (Q) + ln(P)= ln(M)+ln(V)
d ln (Q) +d ln(P)= d ln(M) + d ln(V)

(dQ)/Q + d(P)/P= (d M)/M + (dV)/V

Je ne sais pas si ça répond à la question, mais si c'est le cas, c'est aussi simple que ça !

(*) ou en terme de dérivée: (d ln(u))/du = 1/u !
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Re: Question mathématique

Message non lu par Nombrilist » 09 avr. 2017, 21:09:07

Plutôt que des additions, je pense que c'est plutôt:

Croissance réelle du PIB * Inflation = changement de la quantité de monnaie * changement de la vélocité de la monnaie

Incognito
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Re: Question mathématique

Message non lu par Incognito » 09 avr. 2017, 21:10:35

Cheshire cat a écrit :
09 avr. 2017, 20:58:08
Sinon, sachant que d(ln (u))= (du) / u (*)(dérivée logarithmique) , on obtient:
de QP=MV :
ln(QP)=ln(MV) OK
ln (Q) + ln(P)= ln(M)+ln(V) OK
d ln (Q) +d ln(P)= d ln(M) + d ln(V) OK

(dQ)/Q + d(P)/P= (d M)/M + (dV)/V C'est ici que je bloquais. Faudra que je retrouve pourquoi d ln(x) = dx / x

Je ne sais pas si ça répond à la question, mais si c'est le cas, c'est aussi simple que ça !

(*) ou en terme de dérivée: (d ln(u))/du = 1/u !
C'est ça. Merci!
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Re: Question mathématique

Message non lu par Nombrilist » 09 avr. 2017, 21:11:52

Je serais curieux de savoir où tu vas avec ça.

Incognito
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Re: Question mathématique

Message non lu par Incognito » 09 avr. 2017, 21:15:24

C'est juste des maths Nombrilist
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Re: Question mathématique

Message non lu par Nombrilist » 09 avr. 2017, 21:16:21

Bah oui j'ai vu :star3: . Mais tu t'arrêtes là où tu cherches autre chose ?

Incognito
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Re: Question mathématique

Message non lu par Incognito » 09 avr. 2017, 21:19:16

Je m'arrête là. Ca m'énervais de ne plus savoir comment passer d'une version à l'autre.
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Re: Question mathématique

Message non lu par Narbonne » 09 avr. 2017, 21:22:56

Le modèle de Swagel ?
Ils ne savaient pas que c'était impossible, alors ils l'ont fait.

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Cheshire cat
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Re: Question mathématique

Message non lu par Cheshire cat » 09 avr. 2017, 22:06:03

Incognito a écrit :
09 avr. 2017, 21:10:35
Faudra que je retrouve pourquoi d ln(x) = dx / x
Comment relier à la notion de dérivée enseignée en cours de mathématiques au lycée, à défaut de vraiment justifier mathématiquement .

Il faut considérer tes quantités comme des fonctions du temps.

Si A est une fonction du temps dA/dt désignera la fonction dérivée de A . si on la note A', on aura (dA/dt)(x)= A'(x)

Je noterai ln A la fonction définie par (ln A)(x)= ln(A(x)) fonction composée de ln et A

Appliquons la formule de dérivation d'une fonction composée et celle de la dérivée de la fonction ln : ln'(y)=1/y

(d(ln A)/dt)(x)= ((A')(x))*( ln' (A))(x)) = (dA/dt)(x) ( 1/A(x))= (dA/dt)/A)(x) {si C et D sont deux fonctions, la Fonction C/D sera définie par (C/D)(x) = C(x) / D(X) etc}

On a donc pour tout x ,(d(ln A)/dt)(x)=(dA/dt)/A)(x) ; d(ln A)/dt et (dA/dt)/A désignent la même fonction, elles sont égales.

donc (d lnA/dt)= (dA / dt) /A

et en simplifiant par dt (!!!) : d ln A=(dA)/A

!!! : la dernière ligne semble une escroquerie mathématique, mais ce type de calcul marche !

Comme parfois en mathématique, des justifications compliquées pour quelqu chose d'assez simple.
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La Bécasse
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Re: Question mathématique

Message non lu par La Bécasse » 09 avr. 2017, 23:01:15

Bon bah ça me plaît d'arriver sur un post qui est déjà résolu, parce que les conceptions d'économie et moi, ça doit faire au moins deux. ;)

Incognito
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Re: Question mathématique

Message non lu par Incognito » 09 avr. 2017, 23:04:51

Ce n'est pas de l'économie en fait. C'est juste des maths.
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Re: Question mathématique

Message non lu par Incognito » 09 avr. 2017, 23:06:33

Cheshire cat a écrit :
09 avr. 2017, 22:06:03
Incognito a écrit :
09 avr. 2017, 21:10:35
Faudra que je retrouve pourquoi d ln(x) = dx / x
Comment relier à la notion de dérivée enseignée en cours de mathématiques au lycée, à défaut de vraiment justifier mathématiquement .

Il faut considérer tes quantités comme des fonctions du temps.

Si A est une fonction du temps dA/dt désignera la fonction dérivée de A . si on la note A', on aura (dA/dt)(x)= A'(x)

Je noterai ln A la fonction définie par (ln A)(x)= ln(A(x)) fonction composée de ln et A

Appliquons la formule de dérivation d'une fonction composée et celle de la dérivée de la fonction ln : ln'(y)=1/y

(d(ln A)/dt)(x)= ((A')(x))*( ln' (A))(x)) = (dA/dt)(x) ( 1/A(x))= (dA/dt)/A)(x) {si C et D sont deux fonctions, la Fonction C/D sera définie par (C/D)(x) = C(x) / D(X) etc}

On a donc pour tout x ,(d(ln A)/dt)(x)=(dA/dt)/A)(x) ; d(ln A)/dt et (dA/dt)/A désignent la même fonction, elles sont égales.

donc (d lnA/dt)= (dA / dt) /A

et en simplifiant par dt (!!!) : d ln A=(dA)/A

!!! : la dernière ligne semble une escroquerie mathématique, mais ce type de calcul marche !

Comme parfois en mathématique, des justifications compliquées pour quelqu chose d'assez simple.
Impec. Même pas besoin d'ouvrir le gros bouquin de math qui traîne dans ma bibliothèque !
:bravo: :bravo: :bravo:
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