L'énigme des 100 billes et des 100 tiroirs

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Nombrilist
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L'énigme des 100 billes et des 100 tiroirs

Message non lu par Nombrilist » 15 déc. 2014, 20:38:58

C'est un jeu organisé par un roi qui a condamné à mort 1000 prisonniers. Ceux-ci auront la vie sauve si et seulement si l'ensemble des 1000 prisonniers parviennent à gagner à un jeu qu'il vient d'inventer.
Le jeu consiste en un meuble de 100 tiroirs numérotés de 1 à 100 contenant chacun une bille, numérotées de 1 à 100. Il y a donc 100 tiroirs et 100 billes en tout dans le jeu. Les billes sont réparties aléatoirement dans les tiroirs. Quand les tiroirs sont fermés, il est impossible de voir la bille qui est dedans.
Un par un, les prisonniers devront passer devant le roi et retrouver la bille comportant un numéro de 1 à 100 que le roi aura choisi. Pour ce faire, le prisonnier n'aura le droit d'ouvrir que 50 tiroirs au plus. Si il ne la trouve pas, le jeu se termine et tout le monde aura perdu. Quand un prisonnier consultera un tiroir, il pourra regarder le numéro de la bille et devra la laisser dans le tiroir et refermer ce dernier.
Avant de commencer à jouer, les prisonniers sont informés de ces règles et objectifs et apprennent que pour avoir la vie sauve, il faudra que tous les 1000 réussissent l'épreuve. Le roi les laisse se concerter au début, puis les sépare de sorte que plus jamais aucun prisonnier ne puisse échanger quoi que ce soit avec les autres jusqu'à la fin du jeu.
Ensuite, le premier prisonnier commence l'épreuve. Le roi lui donne un numéro. Le prisonnier ouvre les tiroirs les uns après les autres. Au bout du 50ème tiroir, le prisonnier trouve la bille gagnante. A ce moment-là, il sait que tous sont sauvés. Pourquoi ?

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artragis
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Re: L'énigme des 100 billes et des 100 tiroirs

Message non lu par artragis » 15 déc. 2014, 21:42:18

Ce premier qui a pris la bille doit-il la remettre?
Les autres entendent-ils le numéro que le roi a demandé au premier?
Les autres prisonnier assistent-ils au premier tirage?

Ensuite, il y a sûrement un moyen de s'organiser dans la manière de prendre les tiroirs. Si chaque prisonnier sait quel tiroir il doit ouvrir le premier peut savoir (mais pas les autres) que ces derniers vont gagner, je suppose.
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Baltorupec
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Re: L'énigme des 100 billes et des 100 tiroirs

Message non lu par Baltorupec » 15 déc. 2014, 21:48:53

On sait que la bille gagnante se trouve dans le tiroir n°50. Si il est vivant et qu'il a annoncé aux autres prisonniers qu'il ouvrirait les tiroirs dans l'ordre, alors les autres prisonniers savent que la bille gagnante est dans les 50 premiers tiroirs.
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Re: L'énigme des 100 billes et des 100 tiroirs

Message non lu par Nombrilist » 15 déc. 2014, 22:15:25

"Ce premier qui a pris la bille doit-il la remettre?"

Oui: Quand un prisonnier consultera un tiroir, il pourra regarder le numéro de la bille et devra la laisser dans le tiroir et refermer ce dernier.

"Les autres entendent-ils le numéro que le roi a demandé au premier?"

Non.

"On sait que la bille gagnante se trouve dans le tiroir n°50."

Non.

"Les autres prisonnier assistent-ils au premier tirage?"

Non.

"Si il est vivant et qu'il a annoncé aux autres prisonniers qu'il ouvrirait les tiroirs dans l'ordre, alors les autres prisonniers savent que la bille gagnante est dans les 50 premiers tiroirs."

Bonne remarque. Précision supplémentaire: le roi peut changer de numéro demandé à chaque prisonnier.

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Re: L'énigme des 100 billes et des 100 tiroirs

Message non lu par Baltorupec » 16 déc. 2014, 10:47:04

D'accord, j'avais compris par la phrase "le prisonnier ouvre les tiroirs les uns après les autres" qu'il les ouvrait dans l'ordre (1-2-3), mais bon j'ai surinterprété.
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Re: L'énigme des 100 billes et des 100 tiroirs

Message non lu par artragis » 16 déc. 2014, 11:34:14

Les prisonniers se sont mis d'accord sur l'ordre.

Lorsque le roi demande la bille "n", ils vont d'abord ouvrir le tiroir "n". Puis, ils ouvrent alternativement à gauche et à droite (tant que c'est possible) pour trouver la bille.

Il aura suffi que le prisonnier ait eu à tirer la bille 25 pour qu'il voit l'ensemble des 50 premiers tiroirs et ainsi vérifier que toutes les billes inférieures à 75 étaient dans cette première partie et à une distance de moins de 24 à ajustements près (par exemple 5 n'aura que 4 tirages à sa gauche donc on peut mettre plus de tirages à droite) ce qui faisait que tout prisonnier qui tirerait une bille aurait la bonne bille.
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Re: L'énigme des 100 billes et des 100 tiroirs

Message non lu par pierre30 » 16 déc. 2014, 14:21:58

Lorsque le roi demande la bille "n", ils vont d'abord ouvrir le tiroir "n". Puis, ils ouvrent alternativement à gauche et à droite (tant que c'est possible) pour trouver la bille.
si le premier joueur tire en premier un tiroir < 26, le dernier tiroir est le 50.
si il tire un tiroir > 74, le dernier tiroir est le 51.

Mais je n'ai pas la réponse ...

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Re: L'énigme des 100 billes et des 100 tiroirs

Message non lu par pierre30 » 16 déc. 2014, 14:33:25

Ou alors ils ont décidé d'ouvrir soit les tiroirs de 1 à 50, soit les tiroirs de 51 à 100 selon que le numéro recherché est <= 50 ou >= 51.

il a constaté que les billes réparties aléatoirement dans les 50 tiroirs ouverts correspondent aux numéros de ces tiroirs mais dans le désordre : il a ouvert les tiroirs de 1 à 50 et a trouvé toutes les billes de 1 à 50. Il est donc certain que tous les joueurs gagneront.

Mais ce n'est pas très satisfaisant comme réponse

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Re: L'énigme des 100 billes et des 100 tiroirs

Message non lu par Nombrilist » 16 déc. 2014, 18:55:05

Il y a une trop faible probabilité que vos exemples se vérifient a priori (c'est à dire avant que le 1er prisonnier commence à jour). Artragis, tu as raison en disant qu'au début, les prisonniers se sont mis d'accord sur une méthode. Il existe une méthode optimale pour que l'ensemble du groupe gagne.

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Re: L'énigme des 100 billes et des 100 tiroirs

Message non lu par albert » 16 déc. 2014, 19:07:46

J'ai une solution, mais ça ne marche que si les billes sont distribuées d'une certaine façon (qui peut être le fait du hasard), donc je ne sais pas si c'est la bonne solution :
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Modifié en dernier par albert le 16 déc. 2014, 19:42:18, modifié 1 fois.
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Re: L'énigme des 100 billes et des 100 tiroirs

Message non lu par Baltorupec » 16 déc. 2014, 19:29:13

Y a t il seulement la méthode qui est en jeu ou d'autres éléments ?
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Re: L'énigme des 100 billes et des 100 tiroirs

Message non lu par Nombrilist » 16 déc. 2014, 19:42:48

Albert: brillant et chapeau bas ! C'est bien ça.

Balto: C'est la méthode. Avant que le premier ne "joue", les prisonniers conviennent d'une stratégie d'ouverture des tiroirs et s'y tiennent tous.

A tous: il est bien entendu impossible de gagner à coup sur à ce jeu. Mais il existe une stratégie optimale qui permet de garder de bonnes probabilités de gagner.

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